Для каждого значения параметра a a решите неравенство | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Сначала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим данное неравенство как неравенство с двумя переменными x x и a a и изобразим на координатной плоскости x O a xOa все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству.

Если 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (т. е. на прямой a = - 2 x a=-2x и выше), то получаем 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

Множество изображено на рис. 11.

Теперь решим с помощью этого чертежа исходную задачу. Если мы фиксируем a a , то получаем горизонтальную прямую a = const a = \textrm{const} . Чтобы определить значения x x ,надо найти абсциссы точек пересечения этой прямой с множеством решения неравенства. Например, если a = 8 a=8 , то неравенство не имеет решений (прямая не пересекает множество); если a = 1 a=1 , то решениями являются все x x из отрезка [ - 1 ; 1 ] [-1;1] и т. д. Итак, возможны три варианта.

1) Если $$a>4$$, то решений нет.

2) Если a = 4 a=4 , то x = - 2 x=-2 .

ОТВЕТ

при $$a

при a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

при $$a>4$$ - решений нет.

Найдите все значения параметра a a , при которых неравенство $$3-|x-a| > x^2$$ а) имеет хотя бы одно решение; б) имеет хотя бы одно положительное решение.

Перепишем неравенство в виде $$3-x^2 > |x-a}$$. Построим графики левой и правой частей на плоскости x O y xOy . График левой части - это парабола с ветвями вниз с вершиной в точке (0 ; 3) (0;3) . График пересекает ось абсцисс в точках (± 3 ; 0) (\pm \sqrt{3};0) . График правой части - это угол с вершиной на оси абсцисс, стороны которого направлены вверх под углом 45 ° 45^{\circ} к осям координат. Абсцисса вершины - точка x = a x=a .

а) Для того, чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы в одной точке парабола оказалась выше графика y = | x - a | y=|x-a| . Это выполнено, если вершина уголка лежит между точками A A и B B оси абсцисс (см. рис. 12 - точки A A и B B не включаются). Таким образом, надо определить, при каком положении вершины одна из ветвей уголка касается параболы.

Рассмотрим случай, когда вершина уголка находится в точке A A . Тогда правая ветвь уголка касается параболы. Её угловой коэффициент равен единице. Значит, производная функции y = 3 - x 2 y = 3-x^2 в точке касания равна 1 1 , т. е. - 2 x = 1 -2x=1 , откуда x = - 1 2 x = -\frac{1}{2} . Тогда ордината точки касания равна y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{4} . Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k = 1 k=1 и проходящей через точку с координатами (- 1 2 ; 11 4) (-\frac{1}{2}; \frac{11}{4}) , следующее * {\!}^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .

Это уравнение правой ветви уголка. Абсцисса точки пересечения с осью x x равна - 13 4 -\frac{13}{4} , т. е. точка A A имеет координаты A (- 13 4 ; 0) A(-\frac{13}{4}; 0) . Из соображений симметрии точка B B , имеет координаты: B (13 4 ; 0) B(\frac{13}{4}; 0) .

Отсюда получаем, что a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac{13}{4}; \frac{13}{4}) .

б) Неравенство имеет положительные решения, если вершина уголка находится между точками F F и B B (см. рис. 13). Найти положение точки F F несложно: если вершина уголка находится в точке F F , то его правая ветвь (прямая, задаваемая уравнением y = x - a y = x-a проходит через точку (0 ; 3) (0;3) . Отсюда находим, что a = - 3 a=-3 и точка F F имеет координаты (- 3 ; 0) (-3;0) . Следовательно, a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac{13}{4}) .

ОТВЕТ

а) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac{13}{4}; \frac{13}{4}),\:\:\: б) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac{13}{4}) .

* {\!}^* Полезные формулы:

­ - \-- прямая, проходящая через точку (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) и имеющая угловой коэффициент k k , задаётся уравнением y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0=k(x-x_0) ;

­ - \-- угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) и (x 1 ; y 1) (x_1;y_1) , где x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1 , вычисляется по формуле k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} .

Замечание. Если надо найти значение параметра, при котором касаются прямая y = k x + l y=kx+l и парабола y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c , то можно записать условие, что уравнение k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c имеет ровно одно решение.Тогда другой способ найти значения параметра a a , при котором вершина уголка находится в точке А А, следующий: уравнение x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 имеет ровно одно решение ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\dfrac{13}{4} .

Обратите внимание, что таким образом нельзя записать условие касания прямой с произвольным графиком. Например, прямая y = 3 x - 2 y = 3x - 2 касается кубической параболы y = x 3 y=x^3 в точке (1 ; 1) (1;1) и пересекает её в точке (- 2 ; - 8) (-2;-8) , т. е. уравнение x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 имеет два решения.

Найдите все значения параметра a a , при каждом из которых уравнение (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2|)(x^2+4x+1-a) = 0 имеет а) ровно два различных корня; б) ровно три различных корня.

Поступим так же, как и в примере 25. Изобразим множество решений этого уравнения на плоскости x O a xOa . Оно равносильно совокупности двух уравнений:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 - это угол с ветвями вверх и вершиной в точке (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (- 2 ; - 3) (-2;-3) . См. рис. 14.

Находим точки пересечения двух графиков. Правая ветвь угла задаётся уравнением y = x + 1 y=x+1 . Решая уравнение

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

находим, что x = 0 x=0 или x = - 3 x=-3 . Подходит только значение x = 0 x=0 (т. к. для правой ветви x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Тогда a = 1 a=1 . Аналогично находим координаты второй точки пересечения - (- 4 ; 1) (-4;1) .

Возвращаемся к исходной задаче. Уравнение имеет ровно два решения при тех a a , при которых горизонтальная прямая a = const a=\textrm{const} пересекает множество решений уравнения в двух точках. По графику видим, что это выполняется при a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ { 1 } a\in (-3;-1)\bigcup\{1\} . Ровно три решения будут в случае трёх точек пересечения, что возможно только при a = - 1 a=-1 .

ОТВЕТ

а) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ { 1 } ;       a\in (-3;-1)\bigcup\{1\};\:\:\: б) a = - 1 a=-1 .

$$\begin{cases} x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end{cases} $$

имеет ровно одно решение.

Изобразим решения системы неравенств на плоскости x O a xOa . Перепишем систему в виде $$ \begin{cases} a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac{x^2+6x}{6} .\end{cases} $$

Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие на параболе a = - x 2 + x a = -x^2+x и ниже неё, а второму - точки, лежащие на параболе a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac{x^2+6x}{6} и выше неё. Находим координаты вершин парабол и точек их пересечения, а затем строим график. Вершина первой параболы - (1 2 ; 1 4) (\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}) , второй параболы - (- 1 ; - 1 6) (-1; -\dfrac{1}{6}) , точки пересечения - (0 ; 0) (0;0) и (4 7 ; 12 49) (\dfrac{4}{7}; \dfrac{12}{49}) . Множество точек, удовлетворяющих системе, изображено на рис. 15. Видно, что горизонтальная прямая a = const a=\textrm{const} имеет с этим множеством ровно одну общую точку (а значит, система имеет ровно одно решение) в случаях a = 0 a=0 и a = 1 4 a=\dfrac{1}{4} .

ОТВЕТ

A = 0 ,   a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac{1}{4}

Найдите наименьшее значение параметра a a , при каждом из которых система

$$\begin{cases} x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt{3}ax,\\ \sqrt{3}|x|-y=4 \end{cases} $$

имеет единственное решение.

Преобразуем первое уравнение, выделяя полные квадраты :

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1 .       18 (x^2- 2\sqrt{3}ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Leftrightarrow (x-a\sqrt{3})^2+(y-1)^2=1. \:\:\:\left(18\right)

В отличие от предыдущих задач здесь лучше изобразить чертёж на плоскости x O y xOy (чертёж в плоскости “переменная - параметр” обычно используется для задач с одной переменной и одним параметром - в результате получается множество на плоскости. В данной задаче мы имеем дело с двумя переменными и параметром. Изобразить множество точек (x ; y ; a) (x;y;a) в трёхмерном пространстве - это трудная задача; к тому же, такой чертёж вряд ли получится наглядным). Уравнение (18) задаёт окружность с центром (a 3 ; 1) (a\sqrt{3};1) радиуса 1. Центр этой окружности в зависимости от значения a a может находиться в любой точке прямой y = 1 y=1 .

Второе уравнение системы y = 3 | x | - 4 y = \sqrt{3}|x|-4 задаёт угол со сторонами вверх под углом 60 ° 60^{\circ} к оси абсцисс(угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона tg 60 ° = 3 \textrm{tg}{60^{\circ}} = \sqrt{3}), с вершиной в точке (0 ; - 4) (0;-4) .

Данная система уравнений имеет ровно одно решение, если окружность касается одной из ветвей уголка. Это возможно в четырёх случаях (рис. 16): центр окружности может находиться в одной из точек A A , B B , C C , D D . Поскольку нам надо найти наименьшее значение параметра a a , нас интересует абсцисса точки D D . Рассмотрим прямоугольный треугольник D H M DHM . Расстояние от точки D D до прямой H M HM равно радиусу окружности, поэтому D H = 1 DH=1 . Значит, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac{DH}{\textrm{sin}{60^{\circ}}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} . Координаты точки M M находятся как координаты точки пересечения двух прямых y = 1 y=1 и y = - 3 x - 4 y=-\sqrt{3}x-4 (левая сторона угла).

Получаем M (- 5 3) M(-\dfrac{5}{\sqrt{3}}) . Тогда абсцисса точки D D равна - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac{5}{\sqrt{3}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{7}{\sqrt{3}} .

Поскольку абсцисса центра окружности равна a 3 a\sqrt{3} , отсюда следует, что a = - 7 3 a=-\dfrac{7}{3} .

ОТВЕТ

A = - 7 3 a=-\dfrac{7}{3}

Найдите все значения параметра a a , при каждом из которых система

$$\begin{cases} |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end{cases} $$

имеет ровно одно решение.

Изобразим множества решений каждого из неравенств на плоскости x O y xOy .

Во втором неравенстве выделим полные квадраты:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2         (19) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8)^2 \:\:\:\: (19)

При a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8) неравенство (19) задаёт точку с координатами (7 a ; 3 a) (7a;3a) , т. е. (- 56 ; - 24) (-56;-24) . При всех остальных значениях a a (19) задаёт круг с центром в точке (7 a ; 3 a) (7a;3a) радиуса | a + 8 | |a+8| .

Рассмотрим первое неравенство.
1) При отрицательных a a оно не имеет решений. Значит, не имеет решений и система.

2) Если a = 0 a=0 , то получаем прямую 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 . Из второго неравенства при этом получается круг с центром (0 ; 0) (0; 0) радиуса 8. Очевидно, выходит более одного решения.

3) Если $$a>0$$, то данное неравенство равносильно двойному неравенству - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Оно задаёт полосу между двумя прямыми y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac{4x}{3} , каждая из которых параллельна прямой 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 (рис. 17).

Поскольку мы рассматриваем $$a>0$$, центр круга расположен в первой четверти на прямой y = 3 x 7 y = \dfrac{3x}{7} . Действительно, координаты центра - это x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; выражая a a и приравнивая, получаем x 7 = y 3 \dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{3} , откуда y = 3 x 7 y = \dfrac{3x}{7} . Для того, чтобы система имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы круг касался прямой a 2 a_2 . Это происходит, когда радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до прямой a 2 a_2 . По формуле расстояния от точки до прямой * {\!}^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .

ОТВЕТ

A = 2 a=2

* {\!}^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} .

При каких значениях параметра a a система

$$\begin{cases} |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end{cases}$$ не имеет решений?

Первое уравнение системы задаёт на плоскости x O y xOy квадрат A B C D ABCD (чтобы его построить, рассмотрим x ≥ 0 x\geq 0 и y ≥ 0 y\geq 0 . Тогда уравнение принимает вид x + y = 1 x+y=1 . Получаем отрезок - часть прямой x + y = 1 x+y=1 , лежащую в первой четверти. Далее отражаем этот отрезок относительно оси O x Ox , а затем полученное множество отражаем относительно оси O y Oy)(см. рис. 18). Второе уравнение задаёт квадрат P Q R S PQRS , равный квадрату A B C D ABCD , но с центром в точке (- a ; - a) (-a;-a) . На рис. 18 для примера изображён этот квадрат для a = - 2 a=-2 . Система не имеет решений, если эти два квадрата не пересекаются.

Несложно видеть, что если отрезки P Q PQ и B C BC совпадают, то центр второго квадрата находится в точке (1 ; 1) (1;1) . Нам подойдут те значения a a , при которых центр расположен “выше” и “правее”, т. е. $$a1$$.

ОТВЕТ

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Найдите все значения параметра b b , при которых система

$$\begin{cases} y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end{cases} $$

имеет хотя бы одно решение при любом значении a a .

Рассмотрим несколько случаев.

1) Если $$b2) Если b = 0 b=0 , то система принимает вид $$\begin{cases} y=x^2,\\ y=ax .\end{cases} $$

При любом a a пара чисел (0 ; 0) (0;0) является решением этой системы, следовательно, b = 0 b=0 подходит.

3) Зафиксируем некоторое $$b>0$$. Первому уравнению удовлетворяет множество точек, полученное из параболы y = x 2 - b y=x^2-b отражением части этой параболы относительно оси O x Ox (см. рис. 19а, б). Второе уравнение задаёт семейство прямых(подставляя различные значения a a , можно получить всевозможные прямые, проходящие через точку (b ; 0) (b;0) , кроме вертикальной), проходящих через точку (b ; 0) (b;0) . Если точка (b ; 0) (b;0) лежит на отрезке [ - b ; b ] [-\sqrt{b};\sqrt{b}] . оси абсцисс, то прямая пересекает график первой функции при любом угловом коэффициенте (рис. 19а). Иначе (рис. 19б) в любом случае найдётся прямая, не пересекающая данный график. Решая неравенство - b ≤ b ≤ b -\sqrt{b}\leq b \leq \sqrt{b} и учитывая, что $$b>0$$, получаем, что b ∈ (0 ; 1 ] b \in (0;1] .

Объединяем результаты: $$b \in $$.

ОТВЕТ

$$b \in $$

Найдите все значения a a , при каждом из которых функция f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x имеет хотя бы одну точку максимума.

Раскрывая модуль, получаем, что

$$f(x) = \begin{cases} x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\:\: x\leq a^2 . \end{cases} $$

На каждом из двух промежутков графиком функции y = f (x) y=f(x) является парабола с ветвями вверх.

Поскольку параболы с ветвями вверх не могут иметь точек максимума, единственная возможность заключается в том, что точкой максимума является граничная точка этих промежутков - точка x = a 2 x=a^2 . В этой точке будет максимум, если вершина параболы y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 попадёт на промежуток $$x>a^2$$, а вершина параболы y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - на промежуток $$x\lt a^2$$ (см. рис. 20). Это условие задается неравенствами и $$2 \gt a^2$$ и $$1 \lt a^2$$, решая которые, находим что a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt{2};1)\bigcup(1;\sqrt{2}) .

ОТВЕТ

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt{2};1)\bigcup(1;\sqrt{2})

Найдите все значения a a , при каждом из которых общие решения неравенств

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a и y - x ≥ 2 a                 (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

являются решениями неравенства

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Чтобы сориентироваться в ситуации, иногда бывает полезным рассмотреть какое-нибудь одно значение параметра. Сделаем чертёж, например, для a = 0 a=0 . Неравенствам (20)(фактически мы имеем дело с системой неравенств (20)) удовлетворяют точки угла B A C BAC (см. рис. 21) - точки, каждая из которых лежит выше обеих прямых y = - 2 x y=-2x и y = x y=x (или на этих прямых). Неравенству (21) удовлетворяют точки, лежащие выше прямой y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} . Видно, что при a = 0 a=0 условие задачи не выполняется.

Что изменится, если мы возьмём другое значение параметра a a ? Каждая из прямых переместится и перейдёт в параллельную самой себе прямую, так как угловые коэффициенты прямых не зависят от a a . Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы весь угол B A C BAC лежал выше прямой l l . Так как угловые коэффициенты прямых A B AB и A C AC по модулю больше углового коэффициента прямой l l , необходимо и достаточно, чтобы вершина угла лежала выше прямой l l .

Решая систему уравнений

$$\begin{cases} y+2x=a,\\ y-x=2a, \end{cases}$$

находим координаты точки A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac{a}{3};\dfrac{5a}{3}) . Они должны удовлетворять неравенству (21), поэтому $$\dfrac{10a}{3}+\dfrac{a}{3} > a+3$$, откуда $$a>\dfrac{9}{8}$$.

ОТВЕТ

$$a>\dfrac{9}{8}$$

В данном уроке мы рассмотрим более сложные задачи с параметром и решим их графическим методом.

Тема: Повторение

Урок: Графический метод в задачах с параметром. Продолжение решения задач

1. Решение квадратного уравнения с параметром графическим методом

Пример 1 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Согласно постановке задачи нам не нужно находить значения корней, а только их количество, решаем задачу графическим методом.

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части: . График данной функции нам известен – это парабола, ветви направлены вверх, корни ее легко найти: , отсюда можно найти координаты вершины:

Рис. 2. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при уравнение имеет единственное решение; при уравнение имеет два решения.

2. Решение уравнений с модулями и параметром графическим методом

Пример 2 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Поскольку присутствует модуль, сначала строим график подмодульной функции: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем: , для этого все отрицательные значения функции зеркально отображаются относительно оси х.

Рис. 3. График функций и

Рис. 4. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при два решения; при четыре решения; при три решения.

Пример 3 – найти число корней уравнения в зависимости от параметра а:

Первым действием необходимо построить график функции стоящей в левой части. Следует учесть, что . Сначала построим график функции . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются: , отсюда можно найти координаты вершины: . После того, как график данной функции построен, легко построить график функции с модулем . Для этого вспомним, как раскрывается модуль. При положительных х его можно просто отбросить – эта часть графика уже построена. При отрицательных х: , имеем график: . Это парабола, ветви направлены вверх, корни легко угадываются и находится вершина. Данное построение можно выполнить проще, зная правило: построить график функции без модуля для положительных х и отобразить его симметрично относительно оси у. Выполним построение:

Рис. 5. График функции

Рис. 6. Рассечение графика семейством прямых

Глядя на график, выписываем ответ: при решений нет; при два корня; при четыре корня; при три корня.

3. Решение системы неравенств с параметром графическим способом

Пример 4 – решить систему неравенств с параметром:

Система выглядит довольно сложно, упростим ее. Для этого избавимся от логарифмов и корней. В первом неравенстве сравниваются логарифмы с одинаковым основанием, имеем право отбросить знак логарифма, при этом сменив знак неравенства, т. к. основание логарифмов меньше единицы, но не забудем защитить подлогарифмические выражения (учет ОДЗ).

Чтобы избавиться от корней во втором неравенстве возводим его в квадрат, при этом опять же не забываем учесть ОДЗ. Имеем:

Таким образом, имеем систему четырех неравенств:

Приведем подобные члены:

Строим график полученной эквивалентной системы. Решением первого неравенства является полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением второго неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением третьего неравенства является полуплоскость, расположенная под горизонтальной прямой , сама прямая не входит, т. к. неравенство строгое. Решением последнего неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой , сама прямая входит, т. к. неравенство не строгое. Иллюстрируем:

Рис. 7. Иллюстрация решения системы неравенств

Чтобы уточнить, что решением системы является треугольник, как это видно по графику, необходимо уточнить координаты точек пересечения.

Пусть точка А – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему:

Данная система элементарно решается методом алгебраического сложения:

Пусть точка В – точка пересечения прямых , найдем ее координаты, для этого решим систему.

§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К СТАТИСТИКЕ.

2. Определение неизвестных параметров распределения.

C помощью гистограммы мы можем приближенно построить график плотности распределения случайной величины . Вид этого графика часто позволяет высказать предположение о плотности распределения вероятностей случайной величины . В выражение этой плотности распределения обычно входят некоторые параметры, которые требуется определить из опытных данных.
Остановимся на том частном случае, когда плотность распределения зависит от двух параметров.
Итак, пусть x 1 , x 2 , ..., x n - наблюдаемые значения непрерывной случайной величины , и пусть ее плотность распределения вероятностей зависит от двух неизвестных параметров A и B , т.е. имеет вид . Один из методов нахождения неизвестных параметров A и B состоит в том, что их выбирают таким образом, чтобы математическое ожидание и дисперсия теоретического распределения совпали с выборочными средними значением и дисперсией :

(66)

где

(67)

Из двух полученных уравнений () находят неизвестные параметры A и B . Так, например, если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, то ее плотность распределения вероятностей

зависит от двух параметров a и . Эти параметры, как мы знаем, являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины ; поэтому равенства () запишутся так:

(68)

Следовательно, плотность распределения вероятностей имеет вид

Замечание 1. Такую задачу мы уже решали в . Результат замера есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения с параметрами a и . За приближенное значение a мы выбрали величину , а за приближенное значение - величину .

Замечание 2. При большом количестве опытов нахождение величин и по формулам () cвязано с громоздкими вычислениями. Поэтому поступают так: каждое из наблюдаемых значений величины , попавшее в i -й интервал ] X i-1 , X i [ статистического ряда, считают приближенно равным середине c i этого интервала, т.е. c i =(X i-1 +X i)/2 . Рассмотрим первый интервал ] X 0 , X 1 [ . В него попало m 1 наблюдаемых значений случайной величины , каждое из которых мы заменяем числом с 1 . Следовательно, сумма этих значений приближенно равна m 1 с 1 . Аналогично, сумма значений , попавших во второй интервал, приближенно равна m 2 с 2 и т.д. Поэтому

Подобным же образом получим приближенное равенство

Итак, Покажем, что

(71)

Действительно,

Уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают из года в год в список заданий типа B и C на едином государственном экзамене ЕГЭ. Однако среди большого числа уравнений с параметрами есть те, которые с легкостью могут быть решены графическим способом. Рассмотрим этот метод на примере решения нескольких задач.

Найти сумму целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 2x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

График первой функции y = |x 2 – 2x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x 0 = -b/2a. Таким образом, x 0 = 2/2 = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x 0 в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x 1 = -1, x 2 = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = |x 2 – 2x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Ответ: 6.

Найти среднее арифметическое целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 4|x| – 1| = a имеет шесть корней.

Начнем с построения графика функции y = |x 2 – 4|x| – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = |a| 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси Oy; (Рис. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x, отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.

С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу (1; 5).

Это можно видеть на следующем рисунке:

Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Ответ: 3.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнения с параметрами:графический метод решения

8-9 классы

В статье рассматривается графический метод решения некоторых уравнений с параметрами, который весьма эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a .

Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a ?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a . График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

Из чертежа видно, что:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x 1,2 = д 2).
Если 0 < a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.
Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 2, то два корня;
если a = 2, то три корня;
если 0 < a < 2, то четыре корня.

Задача 2. Сколько корней имеет уравнение | x 2 – 2| x | – 3 | = a в зависимости от параметра a ?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | x 2 – 2| x | – 3 | и y = a .

График функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).

Из чертежа видно:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | x2 – 2| x | – 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | две общие точки при a > 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет два корня.
Если 0 < a < 3, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | x 2 – 2| x | – 3 | четыре общие точки, а также прямая y=a будет иметь с графиком построенной функции четыре общие точки при a = 4. Значит, при 0 < a < 3, a = 4 исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно, уравнение имеет пять корней.
Если 3 < a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Если a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 4, то два корня;
если 0 < a < 3, a = 4, то четыре корня;
если a = 3, то пять корней;
если 3 < a < 4, то шесть корней.

Задача 3. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a ?

Решение. Построим в системе координат (x; y) график функции но сначала представим ее в виде:

Прямые x = 1, y = 1 являются асимптотами графика функции. График функции y = | x | + a получается из графика функции y = | x | смещением на a единиц по оси Oy.

Графики функций пересекаются в одной точке при a > – 1; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет одно решение.

При a = – 1, a = – 2 графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях параметра уравнение (1) имеет два корня.
При – 2 < a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

если a > – 1, то одно решение;
если a = – 1, a = – 2, то два решения;
если – 2 < a < – 1, a < – 1, то три решения.

Замечание. При решении уравнения (1) задачи 3 особо следует обратить внимание на случай, когда a = – 2, так как точка (– 1; – 1) не принадлежит графику функции но принадлежит графику функции y = | x | + a .

Перейдем к решению другой задачи.

Задача 4. Сколько корней имеет уравнение

x + 2 = a | x – 1 | (2)

в зависимости от параметра a ?

Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем данного уравнения, так как равенство 3 = a · 0 не может быть верным ни при каком значении параметра a . Разделим обе части уравнения на | x – 1 |(| x – 1 | № 0), тогда уравнение (2) примет вид В системе координат xOy построим график функции

График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

если a Ј – 1, то корней нет;
если – 1 < a Ј 1, то один корень;
если a > 1, то два корня.

Рассмотрим наиболее сложное уравнение.

Задача 5. При каких значениях параметра a уравнение

a x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

имеет три решения?

Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет число a = 0, при котором уравнение (3) примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1. Следовательно, при a = 0 уравнение (3) имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

2. Рассмотрим случай, когда a № 0.

Перепишем уравнение (3) в следующем виде: a x 2 = – | x – 1 |. Заметим, что уравнение будет иметь решения только при a < 0.

В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = a x 2 . График функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a x 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Уравнение (3) будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1 будет касательной к графику функции y=a x 2 .

Пусть x 0 - абсцисса точки касания прямой y = – x + 1 с параболой y = a x 2 . Уравнение касательной имеет вид

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Запишем условия касания:

Данное уравнение можно решить без использования понятия производной.

Рассмотрим другой способ. Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую точку с параболой y = a x 2 + px + q, то уравнение a x 2 + px + q = kx + b должно иметь единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем случае имеем уравнение a x 2 = – x + 1 (a № 0). Дискриминант уравнения

Задачи для самостоятельного решения

6. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a ?

1) | | x | – 3 | = a ;
2) | x + 1 | + | x + 2 | = a ;
3) | x 2 – 4| x | + 3 | = a ;
4) | x 2 – 6| x | + 5 | = a .

1) если a <0, то корней нет; если a =0, a >3, то два корня; если a =3, то три корня; если 0<a <3, то четыре корня;
2) если a <1, то корней нет; если a =1, то бесконечное множество решений из отрезка [– 2; – 1]; если a > 1, то два решения;
3) если a <0, то корней нет; если a =0, a <3, то четыре корня; если 0<a <1, то восемь корней; если a =1, то шесть корней; если a =3, то три решения; если a >3, то два решения;
4) если a <0, то корней нет; если a =0, 4<a <5, то четыре корня; если 0<a < 4, то восемь корней; если a =4, то шесть корней; если a =5, то три корня; если a >5, то два корня.

7. Сколько корней имеет уравнение | x + 1 | = a (x – 1) в зависимости от параметра a ?

Указание. Так как x = 1 не является корнем уравнения, то данное уравнение можно привести к виду .

Ответ: если a Ј –1, a > 1, a =0, то один корень; если – 1<a <0, то два корня; если 0<a Ј 1, то корней нет.

8. Сколько корней имеет уравнение x + 1 = a | x – 1 |в зависимости от параметра a ?

Построить график (см. рисунок).

Ответ: если a Ј –1, то корней нет; если – 1<a Ј 1, то один корень; если a >1, то два корня.

9. Сколько корней имеет уравнение

2| x | – 1 = a(x – 1)

в зависимости от параметра a ?

Указание. Привести уравнение к виду

Ответ: если a Ј –2, a >2, a =1, то один корень; если –2<a <1, то два корня; если 1<a Ј 2, то корней нет.

10. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a ?

Ответ: если a Ј 0, a і 2, то один корень; если 0<a <2, то два корня.

11. При каких значениях параметра a уравнение

x 2 + a | x – 2 | = 0

имеет три решения?

Указание. Привести уравнение к виду x 2 = – a | x – 2 |.

Ответ: при a Ј –8.

12. При каких значениях параметра a уравнение

a x 2 + | x + 1 | = 0

имеет три решения?

Указание. Воспользоваться задачей 5. Данное уравнение имеет три решения только в том случае, когда уравнение a x 2 + x + 1 = 0 имеет одно решение, причем случай a = 0 не удовлетворяет условию задачи, то есть остается случай, когда

13. Сколько корней имеет уравнение

x | x – 2 | = 1 – a

в зависимости от параметра a ?

Указание. Привести уравнение к виду –x |x – 2| + 1 = a

в зависимости от параметра a ?

Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения.

Ответ: если a <0, a >2, то два корня; если 0Ј a Ј 2, то один корень.

16. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a ?

Указание. Построить графики левой и правой частей данного уравнения. Для построения графика функции найдем промежутки знакопостоянства выражений x + 2 и x:

Ответ: если a >– 1, то одно решение; если a = – 1, то два решения; если – 3<a <–1, то четыре решения; если a Ј –3, то три решения.